Tutti i segreti dei numeri primi

Uno, ma non primo, né composto
L’uno non è un numero primo. Ma non è neanche un numero composto: i numeri composti sono, per definizione, quelli che hanno almeno un altro divisore oltre a uno e a sé stessi

Primus inter pares
Due: l’unico numero pari a essere primo. Ma anche il primo primo

Quanti sono?
I numeri sono infiniti. Ne segue logicamente che anche i numeri primi lo sono. Uno dei primi a dimostrarlo, attorno al 300 a.C., fu Euclide, nei suoi Elementi: “Supponiamo ci sia un numero finito di numeri primi. Se li moltiplichiamo tra loro, otterremo un numero divisibile per ogni numero primo. Aggiungendo uno a tale numero, otterremo un altro numero che, diviso per ciascun primo, avrà come resto uno. Ovvero un altro numero primo oppure un numero composto, ma allora ammetterebbe dei fattori primi più grandi dei primi già provati: dunque, i numeri primi non possono essere finiti”.

Come sono distribuiti?
Lo studio della distribuzione dei numeri primi è una delle sfide più avvincenti della matematica, iniziata verso la fine del diciottesimo secolo da Gauss e da Legendre e ancora non terminata. L’ultimo risultato ottenuto dalla scienza su questo argomento è la cosiddetta disuguaglianza di Rosser (nella foto), enunciata nel 1938 e migliorata nel 1995

I primi primi
Qualche cifra: tra 0 e 10 ci sono 4 numeri primi (il 40%); tra 0 e 100 ci sono 25 numeri primi (il 25%); tra 0 e 1000 ci sono 168 numeri primi (il 16,8%), e così via, diminuendo la proporzione. Tra 0 e 10 miliardi ci sono oltre 450 milioni di numeri primi, il 4,6% del totale

Un problema irrisolto
L’enunciato è molto semplice: “Ogni numero pari maggiore di due può essere scritto come somma di due numeri primi”. Dimostrarlo, però, non lo è: la congettura, formulata dal matematico prussiano Christian Goldbach nel 1742 e successivamente riformulata da Eulero, ancora non è stata dimostrata

L’ultimo primo
Il più grande numero primo finora scoperto è 2^{274207281} -1, che conta oltre 22 milioni di cifre. È stato scoperto grazie a un progetto di calcolo distribuito (simulazioni computerizzate eseguite su reti enormi di macchine) chiamato Gimps